This undergraduate minicourse was offered as part of the Brazilian Algebra Meeting 2026, São Carlos.

Resumo

O teorema de Kronecker--Weber afirma que todo número algébrico de grupo de Galois abeliano pode ser escrito em termos de raízes da unidade. Por exemplo: \[ \sqrt{5} = e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5} -e^{6\pi i/5} + e^{8\pi i/5}. \] Mais precisamente, toda extensão abeliana do corpo dos racionais está contida em uma extensão ciclotômica. É natural se perguntar se há resultados parecidos para outros corpos de números; este é o décimo-segundo problema de Hilbert.

O objetivo deste minicurso é apresentar alguns aspectos da teoria clássica de extensões abelianas de corpos quadráticos imaginários (isto é, corpos da forma $\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$, onde $d$ é um inteiro positivo). Neste caso, no lugar da função exponencial, as extensões abelianas são descritas por valores especiais de funções modulares e elípticas. Ou, geometricamente, no lugar dos pontos de ordem finita no círculo unitário, consideramos pontos de ordem finita em uma curva elíptica. Este resultado deriva da chamada teoria da multiplicação complexa, considerada por Hilbert a "parte mais bela de toda a matemática". A teoria acima serviu de base para o desenvolvimento da bem-estabelecida teoria de corpos de classes, e continua servindo de motivação para uma série de desenvolvimentos recentes em teoria dos números.

Pré-requisitos: teoria de Galois e um pouco de análise complexa.

Notas de aula

Extensões abelianas de corpos quadráticos imaginários. Notas digitadas por Henrique de Cristo Fonseca.

Referências

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