This undergraduate minicourse was offered as part of the 2023 Summer School Programme at ICMC-USP, São Carlos.

Resumo

O objetivo deste minicurso é apresentar, da forma mais autocontida possível, a teoria básica dos diferenciais de Kähler, bem como dar uma breve introdução à cohomologia de de Rham algébrica. Ferramenta básica da álgebra comutativa, os diferenciais de Kähler também aparecem de maneira essencial em diversos desenvolvimentos da geometria algébrica (temos em mente, por exemplo, a noção de divisor canônico, o teorema de Riemann–Roch, a dualidade de Serre, etc.) e, portanto, devem interessar a qualquer aluno de pós-graduação que busca se especializar em áreas correlatas. De fato, este curso pode ser interpretado como uma introdução aos métodos diferenciais em geometria algébrica.

Pré-requisitos: noções elementares da teoria de anéis (ideais, quocientes, módulos), sequências exatas e diagramas comutativos. Em alguns pontos, utilizamos também localização e produto tensorial.

Programa

  1. Derivações; módulo de diferenciais de Kähler e sua propriedade universal; primeira e segunda sequências exatas fundamentais; localização e mudança de base; hipersuperfícies, extensões de corpos, cúspide e curva elíptica afim.
  2. Suavidade via levantamentos infinitesimais; números duais e vetores tangentes; módulos projetivos; $\Omega_{A/R}$ é projetivo para $A$ suave; dimensão relativa; álgebras étale; sequências exatas cindidas; regularidade; critério do jacobiano; um módulo projetivo que não é livre.
  3. Potências exteriores; formas diferenciais e derivada exterior; complexo e cohomologia de de Rham; exemplos; homologia singular e o teorema de comparação de Grothendieck; perspectivas.

Notas de aula

Diferenciais em anéis comutativos.

Aviso sobre IA: a versão digital das notas foi preparada com o auxílio de um modelo de linguagem de inteligência artificial, a partir das notas manuscritas originais (humanas).

Referências

  • H. Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986.
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  • D. Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer, New York, 1995.
  • R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 52. Springer, New York, 1977.
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  • A. Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
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  • A. Grothendieck, On the de Rham cohomology of algebraic varieties. Publications Mathématiques de l’I.H.É.S., tome 29 (1966), 95–103.